證明根號2是無理數(shù)：若根號2是有理數(shù),則設它等于m/n(m、n為不為零的整回數(shù),m、n互質(zhì))，(m/n)^2=根號2 ^2 =2， m^2/n^2=2，m^2=2n^2，即 m^2是偶數(shù),設m=2k，m^2=4k^2=2n^2，n^2=2k^2，即n是偶數(shù)，所以根號2不是有理數(shù),它是無理數(shù)。

無理數(shù)是實數(shù)中不能精確地表示為兩個整數(shù)之比的數(shù),即無限不循環(huán)小數(shù). 如圓周率、2的方根等.

有理數(shù)是所有的分數(shù),整數(shù),它們都可以化成有限小數(shù),或無限循環(huán)小數(shù).如7/22等。

1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時,有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù),比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點,人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)。

2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)之比;而無理數(shù)不能.根據(jù)這一點,有人建議給無理數(shù)摘掉“無理”的帽子,把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”,把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。本來嘛,無理數(shù)并不是不講道理,只是人們最初對它不太了解罷了。

利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別,可以證明√2是無理數(shù).

證明：假設√2不是無理數(shù),而是有理數(shù).

既然√2是有理數(shù),它必然可以寫成兩個整數(shù)之比的形式：√2=p/q

又由于p和q沒有公因數(shù)可以約去,所以可以認為p/q 為最簡分數(shù),即最簡分數(shù)形式。